Obecný rovinný pohyb – početní řešení:  Cykloidní pohyb

Dáno : r , l , aA , vA(t=0)=0 , (t=0)=0 Jsou dány rozměry valícího se tělesa, zrychlení bodu A a čas, pro který určujeme kinematické veličiny bodu M. V čase t=0 je rychlost bodu A nulová a úhel pootočení válce je také nulový. Určit : aM(t) , vM(t) Máme určit kinematické veličiny bodu M, který se nachází na konci tyče. Dále máme zkonstruovat grafy průběhu rychlosti a zrychlení bodu M (na úhlu) a graf trajektorie jeho pohybu.

Řešení :

Je zřejmé, že :

Tento vztah je diferenciální rovnicí, kterou vyřešíme pomocí separace
proměnných a určitých integrálů. Dostaneme závislost úhlové rychlosti na čase:

Z tohoto opět vyplývá diferenciální rovnice, jejímž řešením je
závislost úhlové dráhy na čase:

Dosazením vztahu pro úhel pootočení válce a jeho první derivaci dostaneme
celkovou rychlost v závislosti na čase :

Dosazením vztahu pro úhel pootočení válce a jeho první a druhé derivace
dostaneme celkové zrychlení bodu M v závislosti na čase :

Grafy :

Požadované grafy vypadají
následovně. Samozřejmě pro různé vstupní hodnoty se budou lišit, ale jejich
charakter zůstane zachován. Následující grafy odpovídají těmto vstupním hodnotám
: r=1 m, l=1 m, t=4 s,  a_A=2
ms^-2.

Závislost rychlosti bodu M na úhlu pootočení tyče :

Závislost zrychlení bodu M na úhlu pootočení tyče :

Trajektorie bodu M :

Řešení pro zadané hodnoty :

Řešení pro
zadané hodnoty se provede pouhým dosazením do výše uvedených výsledných vzorců,
argumenty goniometrických funkcí je nutné zadat v radiánech. Můžete si stáhnout
samorozbalovací výpočtový sešit v XLS formátu a zadat libovolné vstupní hodnoty,
uvidíte příslušné výsledky včetně všech grafů.

Stáhnout
výpočtový sešit

Zpracoval : Josef Machytka