Obecný rovinný pohyb – početní řešení:  Cykloidní pohyb


Dáno : r , l , aA , vA(t=0)=0 , (t=0)=0

Jsou dány rozměry valícího se
tělesa, zrychlení bodu A a čas, pro který určujeme kinematické veličiny
bodu M. V čase t=0 je rychlost bodu A nulová a úhel pootočení válce
je také nulový.

Určit : aM(t) , vM(t)

Máme určit kinematické veličiny bodu M,
který se nachází na konci tyče. Dále máme zkonstruovat grafy průběhu
rychlosti a zrychlení bodu M (na úhlu) a graf trajektorie jeho pohybu.


Řešení :

Připravíme si vyjádření úhlu pootočení válce, první a druhé derivace.
Tato vyjádření budeme potřebovat při dalších
výpočtech.

Je zřejmé, že :

Tento vztah je diferenciální rovnicí, kterou vyřešíme pomocí separace
proměnných a určitých integrálů. Dostaneme závislost úhlové rychlosti na čase:

Z tohoto opět vyplývá diferenciální rovnice, jejímž řešením je
závislost úhlové dráhy na čase:

Vyjádříme obě složky polohy bodu M.

První derivací složek polohy získáme složky rychlosti bodu
M.

Celkovou rychlost bodu M vypočítáme ze složek podle Pythagorovy
věty.     Podrobněji…

Dosazením vztahu pro úhel pootočení válce a jeho první derivaci dostaneme
celkovou rychlost v závislosti na čase :

Druhou derivací složek polohy získáme složky zrychlení bodu
M.

Celkové zrychlení bodu M vypočítáme z jeho složek podle Pythagorovy
věty.     Podrobněji…

Dosazením vztahu pro úhel pootočení válce a jeho první a druhé derivace
dostaneme celkové zrychlení bodu M v závislosti na čase :


Grafy :

Požadované grafy vypadají
následovně. Samozřejmě pro různé vstupní hodnoty se budou lišit, ale jejich
charakter zůstane zachován. Následující grafy odpovídají těmto vstupním hodnotám
: r=1 m, l=1 m, t=4 s,  aA=2
ms-2
.

Závislost rychlosti bodu M na úhlu pootočení tyče :

Závislost zrychlení bodu M na úhlu pootočení tyče :

Trajektorie bodu M :


Řešení pro zadané hodnoty :

Řešení pro
zadané hodnoty se provede pouhým dosazením do výše uvedených výsledných vzorců,
argumenty goniometrických funkcí je nutné zadat v radiánech. Můžete si stáhnout
samorozbalovací výpočtový sešit v XLS formátu a zadat libovolné vstupní hodnoty,
uvidíte příslušné výsledky včetně všech grafů.

Stáhnout
výpočtový sešit


Zpracoval : Josef Machytka

SHARE IT:

Related Posts

Leave a Reply

You can use these tags: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>