Přímočarý
pohyb bodu:
Seskok parašutisty
v odporujícím prostředí

Dáno :  xo , xd , k1 , k2 , g   , v1(t = 0) = 0 Z letadla letícího ve výšce xd seskočí parašutista. a) v intervalu xÎ <0 ; xo> parašutista letí rychlostí v1(x) volným pádem, kde na něj působí odpor vzduchu. Součinitel odporu vzduchu při zavřeném padáku je k1 . b) ve výšce xo otevře padák, čímž se velmi zvětší odpor vzduchu na k2(k2>>k1). Parašutista letí rychlostí v2(x). Určete  : v1(x), v2(x), vo = v1 (x = xo), vd = v2(x = xd) Určit  máme průběh rychlosti parašutisty v závislosti na dráze x v obou intervalech (v1(x) a v2(x)), dále velikost rychlosti, při které se otevře padák vo = v1 (x = xo), a jakou rychlostí vd = v2(x = xd) dopadne parašutista na zem.

Poznámka  :  při výpočtu
neuvažujeme rychlost letadla a odpor prostředí předpokládáme závislý   na kvadrátu rychlosti.

Řešení:

Zrychlení
parašutisty v odporujícím prostředí (s padákem nebo bez) probíhá podle
obecného předpisu:

Zrychlení
můžeme napsat jako:

Sestavíme
diferenciální rovnici:

Tuto
rovnici vyřešíme metodou separací proměnných:

a
dále pomocí určitých integrálů

,

kde x_poč jako dolní mez integrálu je obecně dráha při
započetí děje s počáteční rychlostí v_poč.

Po rozšíření pravé strany
zlomkem  a  malé
úpravě lze použít pravidlo o integrování 

zlomku, kdy
v čitateli je derivace jmenovatele. Potom je integrálem tohoto zlomku
logaritmus jmenovatele.

po
integraci dostaneme

nyní
máme funkci

z ní
určíme funkci inverzní

a
obdržíme řešení v obecném tvaru

Řešení pro konkrétní případ

1.
fáze
– volný pád parašutisty bez padáku

součinitel
odporu vzduchu je k = k₁ = 0,002

délka
volného pádu x_o = 800m

počáteční rychlost
seskoku v_poč = 0
m/s a počáteční poloha děje je x_poč = 0m; potom se vztah
zjednoduší na

v_o(x_o = 800m) = 67,27
m/s

Graf
rychlosti v₁(x)

2. fáze-pád s otevřeným padákem

součinitel
odporu vzduchu při otevřeném padáku k = k₂ = 1,3

počáteční poloha
děje x_poč = x_o

počáteční rychlost děje
v_poč = v_o

v_d
(x_d = 2000 m) = 2,74
m/s

Graf
rychlosti v₂(x):

Průběh
rychlosti parašutisty v celém intervalu

Graf rychlosti v₁(x),
v₂(x)