Přímočarý pohyb bodu – parašutista

 

 

Přímočarý
pohyb bodu
:
Seskok parašutisty

v odporujícím prostředí


Dáno
:
 xo
, xd
, k1
, k2
, g   ,
v
1(t = 0) =
0

Z letadla letícího ve výšce xd seskočí
parašutista.

a)
v intervalu xÎ
<0
; xo>
parašutista letí rychlostí v1(x) volným pádem, kde na
něj působí odpor vzduchu. Součinitel odporu vzduchu při zavřeném padáku je
k1 .

b)
ve výšce xo otevře
padák, čímž se velmi zvětší odpor vzduchu na k2(k2>>k1). Parašutista letí rychlostí
v2
(x).

Určete  :
v1(x),
v2(x),
vo = v1 (x = xo),
vd = v2(x = xd
)

Určit  máme průběh rychlosti parašutisty
v závislosti na dráze x
v obou intervalech (v1(x) a
v2(x)), dále velikost rychlosti, při které se otevře
padák vo = v1 (x = xo), a jakou rychlostí vd = v2(x = xd) dopadne parašutista na
zem.

Poznámka  :  při výpočtu
neuvažujeme rychlost letadla a odpor prostředí předpokládáme závislý   na kvadrátu rychlosti.


Řešení:

Zrychlení
parašutisty v odporujícím prostředí (s padákem nebo bez) probíhá podle
obecného předpisu:

Zrychlení
můžeme napsat jako:

 

Sestavíme
diferenciální rovnici:

Tuto
rovnici vyřešíme metodou separací proměnných:

a
dále pomocí určitých integrálů

,

kde xpoč jako dolní mez integrálu je obecně dráha při
započetí děje s počáteční rychlostí vpoč.

Po rozšíření pravé strany
zlomkem  a  malé
úpravě lze použít pravidlo o integrování 

 

zlomku, kdy
v čitateli je derivace jmenovatele. Potom je integrálem tohoto zlomku
logaritmus jmenovatele.

po
integraci dostaneme

nyní
máme funkci

z ní
určíme funkci inverzní

a
obdržíme řešení v obecném tvaru

Řešení pro konkrétní případ

1.
fáze
– volný pád parašutisty bez padáku

součinitel
odporu vzduchu je
k = k1 = 0,002

 

délka
volného pádu xo = 800m

počáteční rychlost
seskoku vpoč = 0
m/s a počáteční poloha děje je xpoč = 0m; potom se vztah
zjednoduší na

 

vo(xo = 800m) = 67,27
m/s

Graf
rychlosti v1(x)

2. fáze-pád s otevřeným padákem

součinitel
odporu vzduchu při otevřeném padáku
k = k2 = 1,3

počáteční poloha
děje xpoč = xo

počáteční rychlost děje
vpoč = vo

vd
(xd = 2000 m) = 2,74
m/s

Graf
rychlosti v2(x):

Průběh
rychlosti parašutisty v celém intervalu

Graf rychlosti v1(x),
v2(x)

 

 

 

SHARE IT:

Related Posts

Leave a Reply

You can use these tags: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>